直式开方法开平方根

2020-07-26 08:46浏览 : 542


目前的高中数学教材中,已经不再教授开平方的直式开方法,在课纲中只要求学生会估计平方根的近似值即可。然而在统计部分的单元学习中,仍有些题目要求学生计算某些牵涉到平方根统计量的近似值,例如标準差。在笔者的教学经验中,常有学生会问如何开平方根,因此笔者将在此篇文章中,以中国古算的开方术为基础,介绍所谓的直式开方法。

《九章算术》〈少广〉卷中有问:
今有积五万五千二百二十五步。问为方几何?
开方术曰:置积为实。借一筭,步之,超一等。议所得,以一乘所借一筭为法,而以除。除已,倍法为定法。其复除。折法而下。复置借筭,步之如初,以复议一乘之,所得副以加定法,以除。以所得副从定法。复除,折下如前。

这一段开方术,看起来不太好理解,由于古时候中算以算筹代笔,计算的过程实际上就是算筹的操弄,因此术文中有一些是算筹所带来的难度,在此忽略不管。同时在刘徽的注释中,他也提供了一个相当清楚简洁的几何解释。

我们先以简单的 \(144\) 为例,如题目所言,假设一个面积为 \(144\) 的正方形,如下图。

由于十进位制的关係,\(100\) 开方为 \(10\),因此先考虑十位数 \(a\)。

由于 \(10\) 的平方为 \(100\) 最接近而不超过,因此开方后得十位数为 \(1\)。

从面积为 \(144\) 的正方形中,扣除一个面积为 \(10^2=100\) 的小正方形后,

剩下二个矩形与一个小正方形。

此时设下一位的个位数为 \(b\),小正方形的边长则为 \(b\),

因此剩余的面积 \(144-100=44\) 应该要等于两个矩形与小正方形的面积和,

故将先前得到的十位数 \(1\) 乘以 \(2\) 倍得 \(20\),

再考虑 \(b\),要使得 \(b(20+b)=44\),因此得 \(b\) 为 \(2\),

因为 \(2\times (20+2)=44\),故得 \(144\) 的平方为 \(12\)。

直式开方法开平方根 直式开方法开平方根

从几何解释中我们可以发现,当我们所求的平方根为二位数时,所用到的代数关係式即是

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2=a^2+b(2a+b)\)。

先猜测十位数字(1),减去其平方(100)之后,将此数2倍(1+1=2),再猜测个位数字。

而在上述所提少广卷中的问题,求面积为55225的正方形边长,估计所求的平分根为三位数,由

\(\begin{array}{ll}(a+b+c)^2 &=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\\&=a^2+b(2a+b)+c(2a+2b+c)\end{array}\)

可知,此时开方所使用的方法与前面相同,只是多求1个位数而已。计算步骤如下:

直式开方法开平方根

如果在个位数减完之后还有剩,则在个位数之后标示小数点,一次考虑两个数字,继续同样的动作,直到得到想要的位数为止,例如求 \(\sqrt {52580} \),前面的步骤与上面相同,接下来如下:

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 得到 \(\sqrt {52580}\approx 235.11 \)。


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